路端电压 U 与电流 I 的关系图像
从闭合电路欧姆定律出发，理解一条直线为何能"讲出"电源的电动势、内阻，以及外电路电阻的所有信息。
一U-I 图像的理论推导
研究对象：一个电源（电动势 $E$、内阻 $r$）通过外电路电阻 $R$ 组成的闭合回路。研究外电路两端的电压 $U$（即路端电压）随电流 $I$ 变化的规律。
闭合电路欧姆定律指出：电源电动势 $E$ 等于内、外电路电压之和：
其中 $U$ 是外电路（即路端）两端的电压，$Ir$ 是电流流经内阻 $r$ 时的内电压。
从欧姆定律到 U-I 关系式
由 $E = U + Ir$，把 $Ir$ 移到左边，$U$ 就成为关于 $I$ 的一次函数：
与 $y = kx + b$ 对号入座：
| 一次函数 | 对应物理量 | 几何意义 |
|---|---|---|
| $y$ / $x$ | $U$ / $I$ | 纵坐标 / 横坐标 |
| 截距 $b$ | $E$（电动势） | 直线与 $U$ 轴交点 |
| 斜率 $k$ | $-r$（内阻的负值） | 直线倾斜程度 |
二U-I 图像的实验操作
下面这个可交互的实验里，你可以拖动滑动变阻器改变外电路电阻。电压表、电流表会同步显示读数，同时 U-I 坐标系中会自动描出一个数据点。多次调节，你就能亲手画出一条 U-I 直线。
交互组件基于 GeoGebra，首次加载需联网获取运行时（约 3 MB，后续会自动缓存）。
三从 U-I 图像获得信息
拿到一条实验测得的 U-I 直线，我们可以从中提取三个关键物理量：
① 电源电动势 $E$
直线与 $U$ 轴交点的纵坐标（即 $I=0$ 时的 $U$）。
② 电源内阻 $r$
图线斜率的绝对值。
③ 外电路电阻 $R$（对应某一具体工作状态）
在直线上任取一点 $(I, U)$，该点对应的外阻为：
几何上，$R$ 等于该点到坐标原点连线的斜率（注意：不是图线本身的斜率！）。 换句话说，把该数据点和原点连一条辅助线，那条辅助线的斜率就是 $R$。
亲手操作：拖动数据点，实时读出 E, r, R
下面这条 U-I 图线是"已知电源"实测的结果。拖动图线上的红点移到不同工作状态，右侧会实时显示这一点所对应的 $U$、$I$、$R = U/I$，以及从整条线读出的 $E$ 和 $r$。
该点的物理量
整条直线的信息
· 蓝线与 U 轴的交点 → 电动势 E
· 蓝线本身斜率的绝对值 → 内阻 r
· 原点到红点的绿虚线斜率 → 外阻 R
小结：一条直线，三件宝物
| 要读的量 | 看图中的什么 | 计算方法 |
|---|---|---|
| 电动势 $E$ | 直线与 U 轴交点 | $E = U|_{I=0}$ |
| 内阻 $r$ | 直线斜率的绝对值 | $r = \dfrac{E - U}{I}$ |
| 外阻 $R$ | 该点与原点连线的斜率 | $R = \dfrac{U}{I}$ |