∿ 竖直上抛运动 — 空中相遇问题
例题
在地面上以初速度 2v0 竖直上抛一物体 A 后，又以初速度 v0 在同一地点竖直上抛另一物体 B。若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔 Δt 必须满足什么条件？（不计空气阻力）
3.00
(× v0/g)
速度:
D
2v0g < Δt < 4v0g
解析：
A 的飞行时间 TA = 2·2v0g = 4v0g，B 的飞行时间 TB = 2v0g。
两球要相遇，Δt 不能太小也不能太大。考虑两种临界情形：
临界情形一（Δt 的下限）：A 落地时 B 刚好落地。
A 在 t = 4v0g 落地，此时 B 飞行时间应等于 TB = 2v0g，即 B 在 t = Δt + 2v0g 落地。
Δt + 2v0g = 4v0g → Δt1 = 2v0g
此时两球在地面相遇。若要在空中相遇，必须有 Δt > 2v0g。
临界情形二（Δt 的上限）：A 落地时 B 刚好抛出。
A 落地时刻仍为 4v0g，此时 B 刚抛出，即：
Δt2 = 4v0g
此时两球仍在地面相遇。若要在空中相遇，必须有 Δt < 4v0g。
综上：2v0g < Δt < 4v0g，选 D。
分析："B 上升时相遇"的临界情形是——A 和 B 刚好在 B 到达最高点时相遇。
在此临界时刻：
① B 到达最高点，位置为 \dfrac{v_0^2}{2g}，运动时间 \dfrac{v_0}{g}，故时刻 t = \Delta t + \dfrac{v_0}{g}。
② A 此刻也在此高度：x_A(t)=2v_0t-\frac12gt^2=\frac{v_0^2}{2g}
将 t=\Delta t+\frac{v_0}{g} 代入化简得：g^2(\Delta t)^2-2gv_0\Delta t-2v_0^2=0
令 \alpha=\dfrac{g\Delta t}{v_0}，得 \alpha^2-2\alpha-2=0，解得 \alpha=1+\sqrt{3}（舍去 1-\sqrt{3}<0）。
因此 \Delta t>\dfrac{(1+\sqrt{3})v_0}{g} 时相遇发生在 B 上升阶段。结合空中相遇上限：
\therefore\;\frac{(1+\sqrt{3})v_0}{g}<\Delta t<\frac{4v_0}{g}