∿ 匀变速直线运动 — 中间时刻速度与中间位置速度
概念
一物体做匀变速直线运动，初速度 v_0，末速度 v，历时 t，位移 x。
中间时刻速度
v_{t/2} = \dfrac{v_0+v}{2}
（算术平均值）
中间位置速度
v_{x/2} = \sqrt{\dfrac{v_0^2+v^2}{2}}
（平方平均数 / 方均根）
由基本不等式知：\dfrac{v_0+v}{2} \leqslant \sqrt{\dfrac{v_0^2+v^2}{2}}（取等仅当 v_0=v），故 中间时刻速度不大于中间位置速度。
0.0
8.0
预设情景：
倍率:
一、中间时刻速度
由速度公式 v_t=v_0+at，将 t/2 代入：
v_{t/2}=v_0+a\cdot\frac{t}{2}
又末速度 v=v_0+at，故 at=v-v_0，代入得：
v_{t/2}=v_0+\frac{v-v_0}{2}=\frac{v_0+v}{2}
二、中间位置速度
由速度-位移公式 v^2-v_0^2=2ax，对前半程 x/2：
v_{x/2}^2-v_0^2=2a\cdot\frac{x}{2}=ax
又 v^2-v_0^2=2ax ⇒ ax=\dfrac{v^2-v_0^2}{2}，代入：
v_{x/2}^2=v_0^2+\frac{v^2-v_0^2}{2}=\frac{v_0^2+v^2}{2}
v_{x/2}=\sqrt{\frac{v_0^2+v^2}{2}}
比较 v_{t/2} 与 v_{x/2}，等价于比较它们的平方：
v_{t/2}^2=\frac{(v_0+v)^2}{4},\qquad v_{x/2}^2=\frac{v_0^2+v^2}{2}
作差：
v_{x/2}^2-v_{t/2}^2=\frac{v_0^2+v^2}{2}-\frac{(v_0+v)^2}{4}=\frac{2(v_0^2+v^2)-(v_0^2+2v_0v+v^2)}{4}=\frac{v_0^2-2v_0v+v^2}{4}=\frac{(v_0-v)^2}{4}\geqslant 0
由于 v_{t/2}\geqslant 0,\;v_{x/2}\geqslant 0，两边开方得：
vt/2 ⩽ vx/2（取等仅当 v_0=v，即匀速运动）
这也正是算术平均数 ≤ 平方平均数（RMS ≥ AM）在物理学中的体现。
分析思路：在 v-t 图中，"中间时刻"对应 t/2 处的竖直线；"中间位置"对应将 v-t 图面积（位移）平分的竖直线。通过比较两者对应的时刻即可判断先后。
匀加速直线运动（v > v₀）：
速度逐渐增大，v-t 图为上升直线。面积（位移）的累积在时间上"前慢后快"——前半段时间累积的位移小于总位移的一半。因此需要 超过一半的时间 才能走完一半位移。
\rightarrow 先经过中间时刻，后经过中间位置。
匀减速直线运动（v < v₀）：
速度逐渐减小，v-t 图为下降直线。面积累积"前快后慢"——前半段时间累积的位移大于总位移的一半。因此 不到一半的时间 就已经走完一半位移。
\rightarrow 先经过中间位置，后经过中间时刻。
匀速直线运动（v = v₀）：
v-t 图为水平直线，面积均匀累积。中间时刻与中间位置完全重合，且两速度相等。
📌 统一结论：无论匀加速还是匀减速，总有 v_{t/2}\leqslant v_{x/2}，且中间时刻速度对应的时刻总在中间位置速度对应的时刻之前（仅匀速时二者同时到达）。